칸토어 집합 (Cantor set)
다양한 흥미로운 성질을 가지는 집합의 예시로 종종 등장하는 칸토어 집합
개념 연습 겸 한번 살펴보도록 하자
그림만 봐도 뭔가 재미있어 보이는 집합이다. 아님말고
닫힌(closed) 실수 구간 $[0,1]$을 $K_0$로, 여기에서 가운데 부분을 뺀 두 closed 구간 $[0, 1/3]$과 $[2/3, 1]$을 $K_1$으로, 또 이 두 구간 각각에서 가운데를 빼서 얻어지는 네 closed 구간을 $K_2$로...
이렇게 귀납적으로 $K_i$들을 정의하자
이 때, 이 모든 $K_i$들의 교집합을 칸토어 집합이라고 부른다
패턴이 깔끔한 게 보기만 해도 기분이 좋아진다. 뭔가 이진 트리가 생각나기도 하고...
그러면 이렇게 정의된 칸토어 집합은 대체 어떻게 생겼단 말인가?
집합의 크기는 어떻고, limit point는 얼마나 있는지, 애초에 공집합이 아니긴 한 건지 등등...
사실 직관적으로 봐도 칸토어 집합은 공집합이 아니다. 각 구간들의 끝 점들은 모든 $K_i$들 안에 들어 있자너?
$i$가 커지면서 $K_i$ 구간들이 계속(무한히) 많아지므로, 칸토어 집합은 무한집합이다. (countable 여부는 아직 몰름)
칸토어 집합의 성질들을 더 알아보자.
- 칸토어 집합은 compact하다.
두 가지 방법을 생각해 보았다.
idea 1) 우선 우리는 $K_0=[0,1]$이 compact하다는 것을 알고 있고,
compact set안의 closed set이 compact하다는 사실도 알고 있다.
문제 상황에서 closed 조건이 많이 나오니 이를 이용해서 칸토어 집합이 compact함을 보일 수 있지 않을까?
pf 1) 우선 임의의 $K_i$는 유한 개의 closed 구간을 모은 것(합집합)이므로, $K_i$는 closed set이다.
칸토어 집합은 모든 $K_i$들의 교집합이고, 따라서 무한 개의 closed set의 교집합이므로, 칸토어 집합도 closed set이다.
$K_0=[0,1]$이 compact하고, 칸토어 집합이 $K_0$안에 있으므로, 칸토어 집합은 compact하다.
idea 2) Metric space가 실수 전체($\mathbb{R}$)니까 하이네-보렐 정리(Heine-Borel Thm)을 써먹고 싶어진다.
pf 2) 하이네-보렐 정리를 적용하려면 칸토어 집합이 closed고 bounded임을 보여야 한다. 우선 위에서 칸토어 집합이 closed임을 보였다. 그리고 칸토어 집합이 closed ball인 $K_0$안에 있으므로 bounded이다. 따라서 하이네-보렐 정리에 의해 칸토어 집합은 compact하다.
- 칸토어 집합은 interior point를 가지지 않는다.
idea) 직관을 얻는 데에는 그림만한 게 없다.
pf) 직관을 바로 증명으로 서술하면 된다. 귀류법으로 가자. 만약 칸토어 집합에 어떤 interior point $x$가 있다면, 칸토어 집합 안에 포함되는 open ball $N_x$ (x 중심의 ball)이 존재해야 할 것이다. 그런데 $x$ 주위에 아무리 작은 ball을 잡아도 어떤 $K_i$ (위 그림에서 $i=3$)은 그 ball 안에서 쪼개질 것이고, 따라서 아무리 작은 ball도 칸토어 집합 안에 포함되지 못할 것이다.
그럼 칸토어 집합의 limit point들은 어떤 점들이 있을까?
우선 직관적으로 모든 구간의 끝점은 limit point일 것 같다. 예를 들어, 점 0은 맨 왼쪽의 모든 구간들의 오른쪽 끝점을 모은 것이 다가가는 점이니까 0은 limit point일 것이다. 이러한 논리를 임의의 끝점에도 적용할 수 있을 것이다.
그렇다면 각 구간의 끝점 외에 칸토어 집합에 들어 있는 점이 있을까?
$K_i$들의 특징을 잘 살펴보면 칸토어 집합에 들어 있는 모든 실수들의 특징을 알 수 있다.
$K_i$들이 nested되어 있고, i가 하나씩 커질 때마다 기존의 구간이 둘로 나누어지므로,
매 $K_i$마다 두 구간 중 하나를 골라 아래로 ($K_{i+1}$의 구간 중 하나로) 내려갈 수 있다.
어디선가 많이 본 익숙한 패턴인 것 같은 느낌이 드는 것은 기분 탓일까? 이 부분이 하이라이트다.
매 $K_i$마다 구간을 선택해서 내려가는 과정을 3진법에 그대로 대응시킬 수 있다.
예를 들어, 3진법으로 표기하면 $K_1$의 왼쪽 구간에 들어 있는 모든 실수는 0.0xxx...이고 (소숫점 아래 첫 번째 숫자가 0),
오른쪽 구간에 들어 있는 모든 실수는 0.2xxx...이다.
그리고 $K_2$의 왼쪽에서 두 번째 구간에 들어 있는 모든 실수는 0.02xxx...의 형태가 된다.
즉, 칸토어 집합의 모든 실수는 3진법으로 표기했을 때 0과 2로만 표현되는 모든 실수들이다!
이제 아까의 의문 (각 구간의 끝점 외에 칸토어 집합에 들어 있는 점이 있을까?) 로 돌아가 보자.
우선 구간의 끝점들은 3진법으로 표기했을 때 뒤의 모든 숫자들이 모두 0 (또는 모두 2)인 실수들이다.
ex) $1/3=0.0222..., 2/9=0.02000...$
하지만 0.020202...와 같이 0과 2가 번갈아 가며 나타나는 실수는 칸토어 집합 안에 들어 있지만 구간의 끝점은 아니다.
직관적으로, 왼쪽과 오른쪽 구간을 번갈아 가며 선택해서 도달하는 수는 구간의 끝점이 아니라는 것이다...
이를 통해 칸토어 집합에는 구간의 끝점이 아닌 점도 들어 있음을 알 수 있다.
이제 다음과 같은 사실들을 쉽게 확인할 수 있다.
- 칸토어 집합은 uncountable이다.
앞에서 칸토어 집합이 무한집합인 것 확인했는데, countable 여부는 확인하지 못했다. 하지만 위의 3진법 표현에 칸토어의 diagonal argument를 적용하면 쉽게 칸토어 집합이 uncountable임을 알 수 있다.
- 칸토어 집합은 perfect set이다. ($A$ perfect $\iff$ $A$는 closed고 모든 $A$의 원소는 $A$의 limit point이다)
우선 앞에서 칸토어 집합이 closed임을 보였다. 이제 칸토어 집합의 모든 점들이 limit point임을 보이면 된다. 이건 위의 3진법 표현을 생각하면 쉽게 생각할 수 있다. 구간의 끝점들이 전부 칸토어 집합 안에 들어 있으므로, 얘들을 잘 선택해서 0과 2로만 표현된 임의의 실수로 다가가면 된다.